【十字相乘法习题及答案】在初中数学的学习过程中，因式分解是一个重要的知识点，而“十字相乘法”则是解决二次三项式因式分解的一种常用方法。掌握好这一技巧，不仅有助于提高解题效率，还能增强对代数式的理解能力。
本文将围绕“十字相乘法”展开，提供一些典型例题与详细解答，帮助学生更好地理解和应用这一方法。
一、什么是十字相乘法？
十字相乘法是一种用于分解形如 $ ax^2 + bx + c $ 的二次三项式的技巧。其核心思想是通过寻找两个数，使得它们的乘积等于 $ a \times c $，而它们的和等于 $ b $。接着，利用这两个数将原式拆分成两个一次项的乘积。
例如，对于 $ x^2 + 5x + 6 $，我们可以找到两个数 $ 2 $ 和 $ 3 $，因为 $ 2 \times 3 = 6 $，$ 2 + 3 = 5 $，所以该式可以分解为 $ (x + 2)(x + 3) $。
二、十字相乘法的步骤
1. 确定首项系数 $ a $ 和常数项 $ c $；
2. 找出两个数，使得它们的乘积为 $ a \times c $，和为 $ b $；
3. 将中间项 $ bx $ 拆分为这两个数的和；
4. 分组并提取公因式，完成因式分解。
三、典型例题及解析
例题1：
分解因式： $ x^2 + 7x + 12 $
解析：
我们需要找两个数，它们的乘积是 $ 1 \times 12 = 12 $，和为 $ 7 $。
符合条件的是 $ 3 $ 和 $ 4 $，因为 $ 3 \times 4 = 12 $，$ 3 + 4 = 7 $。
因此，原式可分解为：
$$
(x + 3)(x + 4)
$$
例题2：
分解因式： $ x^2 - 5x + 6 $
解析：
乘积为 $ 1 \times 6 = 6 $，和为 $ -5 $。
符合条件的是 $ -2 $ 和 $ -3 $，因为 $ (-2) \times (-3) = 6 $，$ -2 + (-3) = -5 $。
因此，原式可分解为：
$$
(x - 2)(x - 3)
$$
例题3：
分解因式： $ 2x^2 + 7x + 3 $
解析：
这里 $ a = 2 $，$ c = 3 $，所以 $ a \times c = 6 $。
我们需要找两个数，乘积为 $ 6 $，和为 $ 7 $。
符合条件的是 $ 1 $ 和 $ 6 $。
将中间项 $ 7x $ 拆成 $ x + 6x $，然后进行分组：
$$
2x^2 + x + 6x + 3 = x(2x + 1) + 3(2x + 1) = (x + 3)(2x + 1)
$$
例题4：
分解因式： $ 3x^2 - 8x + 4 $
解析：
$ a \times c = 3 \times 4 = 12 $，需要找两个数乘积为 $ 12 $，和为 $ -8 $。
符合条件的是 $ -2 $ 和 $ -6 $。
将中间项拆为 $ -2x - 6x $，再分组：
$$
3x^2 - 2x - 6x + 4 = x(3x - 2) - 2(3x - 2) = (x - 2)(3x - 2)
$$
四、练习题（附答案）
1. 分解因式： $ x^2 + 6x + 8 $
答案： $ (x + 2)(x + 4) $
2. 分解因式： $ x^2 - 9x + 18 $
答案： $ (x - 3)(x - 6) $
3. 分解因式： $ 2x^2 + 9x + 4 $
答案： $ (2x + 1)(x + 4) $
4. 分解因式： $ 6x^2 - 11x + 3 $
答案： $ (2x - 3)(3x - 1) $
五、小结
十字相乘法虽然看似简单，但要熟练运用仍需多加练习。建议同学们在做题时注意以下几点：
- 熟悉常见数字的因数组合；
- 注意符号的变化（尤其是负数）；
- 多做题，积累经验，提升解题速度和准确性。
通过不断练习，相信你一定能够轻松掌握这一重要的因式分解技巧！
