三角函数公式大全整理
发布时间：2026-01-12 20:01:22作者：其常君
【三角函数公式大全整理】在数学学习中，三角函数是一个重要的组成部分，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。掌握各种三角函数的公式不仅有助于解题效率的提升，还能加深对三角函数本质的理解。本文将系统地整理常见的三角函数公式，并以表格形式呈现，便于查阅和记忆。
一、基本定义
设一个角为θ，在直角坐标系中，单位圆上点P(x, y)与原点O构成的角为θ，则：
- sinθ = y
- cosθ = x
- tanθ = y/x
- cotθ = x/y
- secθ = 1/x
- cscθ = 1/y
二、基本公式
| 公式名称 | 公式表达 |
| 勾股恒等式 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ |
| 正切与余切关系 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $, $ \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} $ |
| 正割与余割关系 | $ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} $, $ \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} $ |
三、诱导公式（角度转换）
| 角度变换 | 公式表达 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ |
| $ \tan(-\theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \tan(\pi - \theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \tan(\pi + \theta) $ | $ \tan\theta $ |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达 |
| 正弦和角公式 | $ \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $ |
| 正弦差角公式 | $ \sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $ |
| 余弦和角公式 | $ \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $ |
| 余弦差角公式 | $ \cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $ |
| 正切和角公式 | $ \tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} $ |
| 正切差角公式 | $ \tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} $ |
五、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达 |
| 正弦倍角公式 | $ \sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta $ |
| 余弦倍角公式 | $ \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta $ |
| 正切倍角公式 | $ \tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ |
六、半角公式
| 公式名称 | 公式表达 |
| 正弦半角公式 | $ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ |
| 余弦半角公式 | $ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ |
| 正切半角公式 | $ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} $ |
七、积化和差公式
| 公式名称 | 公式表达 |
| $ \sin A \cos B $ | $ \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)] $ |
| $ \cos A \cos B $ | $ \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)] $ |
| $ \sin A \sin B $ | $ -\frac{1}{2}[\cos(A+B) - \cos(A-B)] $ |
八、和差化积公式
| 公式名称 | 公式表达 |
| $ \sin A + \sin B $ | $ 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ |
| $ \sin A - \sin B $ | $ 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $ |
| $ \cos A + \cos B $ | $ 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ |
| $ \cos A - \cos B $ | $ -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $ |
九、三角函数的周期性
| 函数名称 | 周期 |
| 正弦函数 | $ 2\pi $ |
| 余弦函数 | $ 2\pi $ |
| 正切函数 | $ \pi $ |
| 余切函数 | $ \pi $ |
十、特殊角度的三角函数值
| 角度（°） | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| sinθ | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cosθ | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| tanθ | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | 无定义 |
以上是三角函数常用公式的全面整理，涵盖了基本定义、恒等式、和差角、倍角、半角、积化和差、和差化积以及周期性等内容。建议结合实际题目进行练习，以便更好地理解和应用这些公式。
以上就是【三角函数公式大全整理】相关内容，希望对您有所帮助。
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