【如何求函数的单调性】在数学中，函数的单调性是研究函数变化趋势的重要性质。了解一个函数在哪个区间上是递增或递减的，有助于我们分析函数的图像、极值点以及应用问题中的行为规律。本文将总结如何判断和求解函数的单调性，并以表格形式清晰展示步骤与方法。

一、函数单调性的基本概念

- 单调递增：在某个区间内，若对于任意的 $ x_1 < x_2 $，都有 $ f(x_1) \leq f(x_2) $，则称该函数在该区间上单调递增。

- 单调递减：在某个区间内，若对于任意的 $ x_1 < x_2 $，都有 $ f(x_1) \geq f(x_2) $，则称该函数在该区间上单调递减。

- 严格单调：若不等式为严格成立（即 $ f(x_1) < f(x_2) $ 或 $ f(x_1) > f(x_2) $），则称为严格单调。

二、求函数单调性的步骤

三、典型例子解析

例1：求函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 的单调性

1. 求导：$ f'(x) = 3x^2 - 3 $

2. 找临界点：令 $ f'(x) = 0 $，得 $ x = \pm 1 $

3. 确定定义域：定义域为 $ (-\infty, +\infty) $

4. 划分区间：$ (-\infty, -1) $、$ (-1, 1) $、$ (1, +\infty) $

5. 判断符号：

- 在 $ (-\infty, -1) $，取 $ x = -2 $，$ f'(-2) = 9 > 0 $ → 递增

- 在 $ (-1, 1) $，取 $ x = 0 $，$ f'(0) = -3 < 0 $ → 递减

- 在 $ (1, +\infty) $，取 $ x = 2 $，$ f'(2) = 9 > 0 $ → 递增

6. 结论：函数在 $ (-\infty, -1) $ 和 $ (1, +\infty) $ 上递增，在 $ (-1, 1) $ 上递减。

四、注意事项

- 导数为零的点不一定都是极值点，也可能是拐点或平缓区域。

- 导数不存在的点（如分段函数的断点）也需要特别关注其左右侧的单调性。

- 若函数在多个区间上具有不同的单调性，则应分别说明。

五、总结表

通过以上步骤和方法，可以系统地分析并求出函数的单调性。掌握这一能力不仅有助于理解函数的图形特征，也为后续的极值分析、最优化问题等提供了基础支持。

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