【高等代数-第5章习题及解答】在高等代数的学习过程中，第五章通常涉及线性变换与矩阵的进一步分析。这一章节不仅是对前几章内容的深化，也是后续学习特征值、特征向量、相似矩阵等重要概念的基础。为了帮助同学们更好地掌握本章知识，以下提供一些典型习题及其详细解答，旨在通过练习加深理解，提升解题能力。
一、习题1：设 $ V $ 是一个 $ n $ 维线性空间，$ T: V \to V $ 是一个线性变换，且 $ T^2 = 0 $。证明：$ \text{rank}(T) + \text{nullity}(T) \leq n $，并说明什么时候等号成立。
解法提示：
根据线性变换的秩-零度定理，有：
$$
\text{rank}(T) + \text{nullity}(T) = n
$$
因此，该不等式实际上是恒成立的，即等号一定成立。但题目中给出的是 $ T^2 = 0 $，这说明 $ T $ 是一个幂零变换（即存在某个正整数 $ k $，使得 $ T^k = 0 $）。特别地，当 $ k=2 $ 时，$ T $ 是一个幂零指数为2的变换。
由于 $ T^2 = 0 $，则 $ \text{Im}(T) \subseteq \text{ker}(T) $。因此，$ \text{dim}(\text{Im}(T)) \leq \text{dim}(\text{ker}(T)) $。结合秩-零度定理可得：
$$
\text{rank}(T) \leq \frac{n}{2}
$$
所以，只有当 $ \text{rank}(T) = \frac{n}{2} $ 时，等号才成立，此时 $ \text{nullity}(T) = \frac{n}{2} $，即 $ T $ 的像空间与核空间维数相等。
二、习题2：设 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 矩阵，且满足 $ A^2 = I $。证明：$ A $ 可对角化，并求其特征值。
解法提示：
由 $ A^2 = I $ 可知，$ A $ 满足多项式方程 $ x^2 - 1 = 0 $，即其最小多项式整除 $ x^2 - 1 $。而 $ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) $ 是一个无重根的多项式，因此 $ A $ 可对角化。
特征值只能是满足 $ \lambda^2 = 1 $ 的数，即 $ \lambda = 1 $ 或 $ \lambda = -1 $。
三、习题3：设 $ V $ 是一个有限维线性空间，$ T $ 是 $ V $ 上的一个线性变换，且 $ T $ 的特征多项式为 $ f_T(x) = x^n $，其中 $ n = \dim V $。证明：$ T $ 是幂零的。
解法提示：
若 $ T $ 的特征多项式为 $ x^n $，则其所有特征值均为 0，即 $ T $ 的谱仅包含 0。根据Cayley-Hamilton定理，$ T $ 满足其特征多项式，即：
$$
T^n = 0
$$
因此，$ T $ 是一个幂零变换，即存在正整数 $ k $（此处 $ k = n $）使得 $ T^k = 0 $。
四、习题4：设 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 实对称矩阵，证明：$ A $ 的不同特征值对应的特征向量是正交的。
解法提示：
设 $ \lambda_1 \neq \lambda_2 $ 是 $ A $ 的两个不同特征值，$ v_1, v_2 $ 分别是对应于 $ \lambda_1, \lambda_2 $ 的特征向量，即：
$$
A v_1 = \lambda_1 v_1, \quad A v_2 = \lambda_2 v_2
$$
考虑内积 $ \langle A v_1, v_2 \rangle = \langle v_1, A^T v_2 \rangle $。因为 $ A $ 是实对称矩阵，故 $ A^T = A $，所以：
$$
\langle A v_1, v_2 \rangle = \langle v_1, A v_2 \rangle = \langle v_1, \lambda_2 v_2 \rangle = \lambda_2 \langle v_1, v_2 \rangle
$$
另一方面，
$$
\langle A v_1, v_2 \rangle = \langle \lambda_1 v_1, v_2 \rangle = \lambda_1 \langle v_1, v_2 \rangle
$$
因此，有：
$$
\lambda_1 \langle v_1, v_2 \rangle = \lambda_2 \langle v_1, v_2 \rangle
$$
即：
$$
(\lambda_1 - \lambda_2) \langle v_1, v_2 \rangle = 0
$$
由于 $ \lambda_1 \neq \lambda_2 $，故 $ \langle v_1, v_2 \rangle = 0 $，即 $ v_1 $ 与 $ v_2 $ 正交。
五、习题5：设 $ V $ 是一个 $ n $ 维欧几里得空间，$ T: V \to V $ 是一个正交变换。证明：$ T $ 是可逆的，且 $ T^{-1} = T^T $。
解法提示：
正交变换的定义是：对于任意 $ u, v \in V $，有：
$$
\langle T(u), T(v) \rangle = \langle u, v \rangle
$$
令 $ u = v $，则：
$$
\| T(u) \|^2 = \| u \|^2
$$
因此，$ T $ 是一个保范变换，从而是单射的（否则存在非零向量 $ u $ 使得 $ T(u) = 0 $，矛盾）。又因 $ V $ 是有限维的，故 $ T $ 是双射，即可逆。
再考虑 $ T^T $ 作为 $ T $ 的伴随变换，利用正交变换的性质，可以证明：
$$
T T^T = I, \quad T^T T = I
$$
因此，$ T^{-1} = T^T $。
总结：
第五章的内容在高等代数中占据重要地位，涉及线性变换、矩阵的性质、正交变换、幂零变换等关键概念。通过上述习题的练习和解答，可以帮助我们更深入地理解这些抽象概念，并提高逻辑推理与数学表达的能力。希望同学们能够结合教材与课堂讲解，灵活运用所学知识，逐步提升自己的数学素养。
