【等差等比数列求和公式】在数学中，等差数列与等比数列是两种常见的数列类型，它们的求和公式在数列计算中具有重要的应用价值。掌握这些公式的推导过程与使用方法，有助于提高解题效率和逻辑思维能力。

一、等差数列求和公式

定义：

等差数列是指从第二项起，每一项与前一项的差为一个常数的数列。这个常数称为公差，记作 $ d $。

通项公式：

$$

a_n = a_1 + (n - 1)d

$$

求和公式：

$$

S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)

$$

或

$$

S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d

$$

说明：

- $ S_n $ 表示前 $ n $ 项的和

- $ a_1 $ 是首项

- $ a_n $ 是第 $ n $ 项

- $ d $ 是公差

二、等比数列求和公式

定义：

等比数列是指从第二项起，每一项与前一项的比为一个常数的数列。这个常数称为公比，记作 $ r $。

通项公式：

$$

a_n = a_1 \cdot r^{n - 1}

$$

求和公式：

当 $ r \neq 1 $ 时：

$$

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}

$$

或

$$

S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}

$$

说明：

- $ S_n $ 表示前 $ n $ 项的和

- $ a_1 $ 是首项

- $ r $ 是公比

- 当 $ r = 1 $ 时，数列为常数列，求和为 $ S_n = n \cdot a_1 $

三、对比总结

四、实际应用举例

例1：

等差数列：3, 5, 7, 9, 11

求前5项和

解：$ a_1 = 3 $, $ d = 2 $, $ n = 5 $

$$

S_5 = \frac{5}{2}(3 + 11) = \frac{5}{2} \times 14 = 35

$$

例2：

等比数列：2, 6, 18, 54

求前4项和

解：$ a_1 = 2 $, $ r = 3 $, $ n = 4 $

$$

S_4 = 2 \cdot \frac{3^4 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{81 - 1}{2} = 2 \cdot 40 = 80

$$

通过掌握等差数列与等比数列的求和公式，可以更高效地处理数列相关的问题，尤其在考试和实际问题中具有广泛的应用价值。

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