平面向量夹角公式cos
【平面向量夹角公式cos】在向量运算中，求两个向量之间的夹角是一个常见的问题。通过余弦函数（cos）可以计算出两个向量之间的夹角大小，这一公式在几何、物理以及工程学等领域都有广泛应用。
一、基本概念
向量：具有大小和方向的量，通常用坐标形式表示，如 $\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2)$。
夹角：两个向量之间形成的最小正角，范围在 $0^\circ$ 到 $180^\circ$ 之间。
二、夹角公式
设两个非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，它们的夹角为 $\theta$，则夹角的余弦值由以下公式给出：
$$
\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{
$$
其中：
- $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 是向量的点积；
- $
三、公式推导简述
点积的定义为：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2
$$
模长的计算公式为：
$$
$$
将这些代入余弦公式，即可得到两向量夹角的余弦值。
四、应用举例
| 向量 $\vec{a}$ | 向量 $\vec{b}$ | 点积 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ | 模长 $ | \vec{a} | $ | 模长 $ | \vec{b} | $ | $\cos \theta$ | 夹角 $\theta$（度） |
| (3, 4) | (5, 12) | 3×5 + 4×12 = 63 | 5 | 13 | 63 / (5×13) ≈ 0.969 | 15° | ||||
| (1, 1) | (-1, 1) | 1×(-1) + 1×1 = 0 | √2 | √2 | 0 | 90° | ||||
| (2, 0) | (0, 3) | 2×0 + 0×3 = 0 | 2 | 3 | 0 | 90° | ||||
| (1, 2) | (3, 4) | 1×3 + 2×4 = 11 | √5 | 5 | 11 / (5√5) ≈ 0.985 | 10° |
五、注意事项
- 若 $\cos \theta = 0$，说明两向量垂直；
- 若 $\cos \theta = 1$，说明两向量方向相同；
- 若 $\cos \theta = -1$，说明两向量方向相反；
- 公式适用于二维或三维空间中的向量。
六、总结
平面向量夹角公式 $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{
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