【5-第五章大数定律与中心极限定理习题课】在概率论与数理统计的学习过程中，第五章“大数定律与中心极限定理”是理解随机现象总体规律的重要章节。本章主要介绍了两种重要的概率理论——大数定律和中心极限定理，它们为统计推断提供了坚实的理论基础。通过本章的学习，学生应掌握这些基本概念及其在实际问题中的应用。

一、大数定律的基本思想

大数定律描述的是在独立重复试验中，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率会趋于其理论概率。例如，在抛硬币实验中，当试验次数足够多时，正面朝上的次数与总次数的比值将接近0.5。

常见的大数定律包括：

- 切比雪夫大数定律：适用于独立同分布的随机变量序列，当样本容量足够大时，样本均值依概率收敛于期望值。

- 伯努利大数定律：是切比雪夫大数定律在二项分布下的特例，说明频率稳定于概率。

在习题练习中，常涉及如何利用大数定律进行近似计算或解释某些统计现象。

二、中心极限定理的核心内容

中心极限定理是概率论中最重要、最广泛应用的定理之一。它指出，对于独立同分布的随机变量序列，当样本容量足够大时，其样本均值的分布近似服从正态分布，无论原始变量的分布如何。

常见的中心极限定理有：

- 独立同分布的中心极限定理：设 $ X_1, X_2, \ldots, X_n $ 是独立同分布的随机变量，均值为 $ \mu $，方差为 $ \sigma^2 $，则当 $ n \to \infty $ 时，

$$

\frac{\sum_{i=1}^{n} X_i - n\mu}{\sigma \sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0, 1)

$$

- 德莫弗-拉普拉斯定理：是中心极限定理在二项分布中的特殊情况，用于近似计算二项分布的概率。

在实际应用中，中心极限定理常被用来进行假设检验、置信区间估计等统计推断操作。

三、典型习题解析

例题1：大数定律的应用

设某工厂生产的某种产品次品率为 $ p = 0.05 $，现从一批产品中随机抽取 1000 件，试用大数定律说明次品数量的波动范围。

解：根据伯努利大数定律，随着抽取数量的增加，次品率会逐渐接近真实值 $ p = 0.05 $。因此，1000 件中次品数约为 $ 1000 \times 0.05 = 50 $ 件，波动范围可由方差计算得出，即 $ \sqrt{1000 \times 0.05 \times 0.95} \approx 6.9 $，因此次品数大约在 43 到 57 之间。

例题2：中心极限定理的应用

设某地区居民的月收入服从均值为 8000 元、标准差为 2000 元的分布，现随机抽取 100 名居民，求其平均月收入超过 8200 元的概率。

解：根据中心极限定理，样本均值近似服从正态分布，均值为 8000，标准差为 $ 2000 / \sqrt{100} = 200 $。计算：

$$

P(\bar{X} > 8200) = P\left( Z > \frac{8200 - 8000}{200} \right) = P(Z > 1) \approx 0.1587

$$

四、学习建议与注意事项

1. 理解概念本质：不要只停留在公式记忆上，要理解大数定律与中心极限定理背后的统计意义。

2. 注意适用条件：如独立性、同分布、样本容量等，是应用定理的前提。

3. 加强计算训练：熟练掌握正态分布表的使用以及标准正态变量的转换方法。

4. 结合实际案例：通过具体例子加深对理论的理解，提高分析能力。

通过本章的学习与练习，不仅可以巩固概率论的基础知识，还能为后续的统计学课程打下坚实的基础。希望同学们在复习过程中注重理解与实践相结合，真正掌握这一重要理论体系。