【分式方程计算题--20211105232054】在数学学习的过程中，分式方程是一个非常重要的知识点，尤其是在初中和高中阶段。它不仅考验学生的代数运算能力，还涉及到对等式的理解和变形技巧。今天，我们将围绕一道典型的分式方程题目进行详细解析，帮助大家更好地掌握这类题型的解题思路与方法。

题目如下：

$$

\frac{2}{x - 1} + \frac{3}{x + 2} = 1

$$

第一步：明确分母，确定定义域

首先，我们需要观察这个方程中的分母，即 $x - 1$ 和 $x + 2$。由于分母不能为零，因此我们有以下限制条件：

- $x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$

- $x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$

所以，该方程的定义域是 $x \in \mathbb{R} \setminus \{1, -2\}$。

第二步：寻找公分母，消去分母

为了简化方程，我们可以将两边同时乘以所有分母的最小公倍数，也就是 $(x - 1)(x + 2)$，从而消去分母：

$$

(x - 1)(x + 2) \cdot \left( \frac{2}{x - 1} + \frac{3}{x + 2} \right) = (x - 1)(x + 2) \cdot 1

$$

展开后得到：

$$

2(x + 2) + 3(x - 1) = (x - 1)(x + 2)

$$

第三步：展开并整理方程

左边展开：

$$

2x + 4 + 3x - 3 = 5x + 1

$$

右边展开：

$$

(x - 1)(x + 2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2

$$

于是方程变为：

$$

5x + 1 = x^2 + x - 2

$$

将所有项移到一边，整理成标准二次方程形式：

$$

x^2 + x - 2 - 5x - 1 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x - 3 = 0

$$

第四步：解二次方程

使用求根公式：

$$

x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2}

$$

进一步化简：

$$

x = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}

$$

第五步：检验解是否符合定义域

我们得到两个可能的解：$x = 2 + \sqrt{7}$ 和 $x = 2 - \sqrt{7}$。

检查这两个值是否在定义域内（即不等于1或-2）：

- $2 + \sqrt{7} \approx 2 + 2.645 = 4.645$，不在排除范围内；

- $2 - \sqrt{7} \approx 2 - 2.645 = -0.645$，也不在排除范围内。

因此，这两个解都是有效解。

最终答案：

$$

x = 2 + \sqrt{7} \quad \text{或} \quad x = 2 - \sqrt{7}

$$

通过这道分式方程的练习，我们可以看到，解决此类问题的关键在于正确地处理分母、合理地消元，并最终通过代数运算找到正确的解。同时，不要忘记在最后一步进行检验，确保所求得的解不会使原方程的分母为零。只有这样，才能保证答案的准确性与合理性。