【函数的单调性（完整版PPT课件）】一、课程导入

在数学的学习过程中，函数是研究变量之间关系的重要工具。而函数的单调性，则是我们分析函数变化趋势的一个重要特征。通过了解函数的单调性，我们可以判断函数在某个区间上是上升还是下降，从而为后续的极值、图像绘制以及实际问题的建模提供基础。

二、什么是函数的单调性？

函数的单调性是指函数在其定义域内的某些区间上的增减性质。具体来说：

- 增函数：当自变量 $ x_1 < x_2 $ 时，对应的函数值 $ f(x_1) < f(x_2) $，则称函数在该区间上是单调递增的。

- 减函数：当自变量 $ x_1 < x_2 $ 时，对应的函数值 $ f(x_1) > f(x_2) $，则称函数在该区间上是单调递减的。

三、单调性的几何意义

从函数图像的角度来看：

- 如果函数图像是逐渐上升的，那么它在该区间上是单调递增的；

- 如果函数图像是逐渐下降的，那么它在该区间上是单调递减的。

四、单调性的判定方法

1. 定义法

通过比较两个点的函数值大小来判断单调性。

设 $ x_1, x_2 \in D $，若 $ x_1 < x_2 $ 时，$ f(x_1) < f(x_2) $，则函数在区间 $ D $ 上单调递增；

若 $ f(x_1) > f(x_2) $，则函数在区间 $ D $ 上单调递减。

2. 导数法（微分法）

- 若函数在某区间内可导，且导数 $ f'(x) > 0 $，则函数在该区间上单调递增；

- 若导数 $ f'(x) < 0 $，则函数在该区间上单调递减。

3. 图像法

通过观察函数图像的变化趋势，判断其单调性。

五、典型函数的单调性分析

| 函数类型 | 单调性分析 |

|----------|------------|

| 一次函数 $ y = kx + b $ | 当 $ k > 0 $ 时，单调递增；当 $ k < 0 $ 时，单调递减 |

| 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ | 在对称轴左侧单调递减，右侧单调递增（当 $ a > 0 $）；反之则相反 |

| 指数函数 $ y = a^x $ | 当 $ a > 1 $ 时，单调递增；当 $ 0 < a < 1 $ 时，单调递减 |

| 对数函数 $ y = \log_a x $ | 当 $ a > 1 $ 时，单调递增；当 $ 0 < a < 1 $ 时，单调递减 |

六、应用举例

1. 求函数的单调区间

例如：函数 $ f(x) = x^2 - 4x + 3 $，求其单调区间。

解：先求导 $ f'(x) = 2x - 4 $，令导数为零得 $ x = 2 $。

当 $ x < 2 $ 时，导数为负，函数单调递减；

当 $ x > 2 $ 时，导数为正，函数单调递增。

2. 利用单调性解不等式

如：已知函数 $ f(x) $ 在区间 $ [a, b] $ 上单调递增，且 $ f(a) < f(b) $，则可以推断出在该区间内函数的变化趋势。

七、总结

函数的单调性是研究函数性质的重要内容之一，它不仅帮助我们理解函数的变化规律，还广泛应用于实际问题的分析与解决中。掌握函数单调性的判断方法和应用技巧，有助于提升我们的数学思维能力和解题能力。

八、课后练习

1. 判断函数 $ f(x) = 3x - 5 $ 的单调性，并说明理由。

2. 求函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 的单调区间。

3. 已知函数 $ f(x) $ 在区间 $ (-\infty, 0) $ 上单调递增，在 $ (0, +\infty) $ 上单调递减，试画出可能的函数图像。

九、拓展思考

- 如果一个函数在多个区间上具有不同的单调性，如何描述它的整体单调性？

- 函数的单调性与极值之间有什么联系？

十、结语

通过对函数单调性的深入学习，我们不仅能更好地理解函数的图像与性质，还能为今后学习导数、极值、最值等内容打下坚实的基础。希望同学们在本节课中有所收获，并能灵活运用所学知识解决实际问题。