【材料力学常用公式】在工程实践中，材料力学是研究物体在外力作用下其内部应力、应变以及变形规律的一门学科。掌握材料力学的基本公式，对于结构设计、构件强度分析和安全评估具有重要意义。以下是一些在材料力学中常用的公式及其应用说明。

一、轴向拉压杆的应力与应变

1. 正应力公式

当杆件受到轴向拉力或压力时，产生的正应力为：

$$

\sigma = \frac{F}{A}

$$

其中，$\sigma$ 为正应力（单位：Pa），$F$ 为作用力（单位：N），$A$ 为横截面面积（单位：m²）。

2. 胡克定律

在弹性范围内，应力与应变成正比：

$$

\sigma = E \varepsilon

$$

其中，$E$ 为材料的弹性模量（单位：Pa），$\varepsilon$ 为应变（无量纲）。

3. 纵向变形公式

杆件在轴向力作用下的伸长或缩短量为：

$$

\Delta L = \frac{FL}{EA}

$$

其中，$\Delta L$ 为变形量（单位：m），$L$ 为杆件原长（单位：m）。

二、剪切应力与扭转

1. 剪切应力公式

剪切力作用下，剪切应力为：

$$

\tau = \frac{V}{A}

$$

其中，$\tau$ 为剪切应力（单位：Pa），$V$ 为剪切力（单位：N），$A$ 为剪切面积（单位：m²）。

2. 扭转角计算公式

圆轴在扭矩作用下产生的扭转角为：

$$

\theta = \frac{T L}{G J}

$$

其中，$\theta$ 为扭转角（单位：rad），$T$ 为扭矩（单位：N·m），$G$ 为剪切模量（单位：Pa），$J$ 为极惯性矩（单位：m⁴）。

3. 剪切模量与弹性模量关系

对于各向同性材料，剪切模量与弹性模量之间有如下关系：

$$

G = \frac{E}{2(1 + \nu)}

$$

其中，$\nu$ 为泊松比（无量纲）。

三、弯曲应力与挠度

1. 弯曲正应力公式

梁在弯矩作用下的最大弯曲应力为：

$$

\sigma_{\text{max}} = \frac{M y}{I}

$$

其中，$M$ 为弯矩（单位：N·m），$y$ 为截面到中性轴的距离（单位：m），$I$ 为截面对中性轴的惯性矩（单位：m⁴）。

2. 梁的挠度公式

简支梁在集中力作用下的最大挠度为：

$$

f = \frac{F L^3}{48 E I}

$$

其中，$f$ 为挠度（单位：m），$F$ 为作用力（单位：N），$L$ 为跨度（单位：m）。

3. 梁的转角公式

梁端部的转角为：

$$

\theta = \frac{F L^2}{16 E I}

$$

四、组合变形与强度理论

1. 主应力公式

在平面应力状态下，主应力为：

$$

\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}

$$

2. 第四强度理论（形状改变能理论）

用于判断材料是否发生塑性屈服：

$$

\sigma_{\text{eq}} = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + \sigma_3^2 - \sigma_1 \sigma_2 - \sigma_2 \sigma_3 - \sigma_3 \sigma_1}

$$

若 $\sigma_{\text{eq}} \leq \sigma_y$，则材料处于安全状态。

五、其他常用公式

- 应变能公式：

$$

U = \int_0^L \frac{M^2}{2 E I} dx

$$

用于计算梁在弯曲下的应变能。

- 临界载荷（欧拉公式）：

$$

P_{\text{cr}} = \frac{\pi^2 E I}{(K L)^2}

$$

用于计算细长压杆的临界载荷，其中 $K$ 为长度系数。

结语

材料力学中的公式是解决工程问题的重要工具。正确理解和灵活运用这些公式，有助于提高结构设计的安全性和经济性。在实际应用中，还需结合材料特性、边界条件及实际工况进行综合分析，以确保工程结构的可靠性与稳定性。