《高等代数》课程习题
第一章：多项式理论
1.1 多项式的定义与运算
题目1：
设 $ f(x) = x^3 - 2x + 1 $，$ g(x) = x^2 + x - 1 $，求 $ f(x) + g(x) $ 与 $ f(x) \cdot g(x) $。
解：
$$
f(x) + g(x) = (x^3 - 2x + 1) + (x^2 + x - 1) = x^3 + x^2 - x
$$
$$
f(x) \cdot g(x) = (x^3 - 2x + 1)(x^2 + x - 1)
$$
展开后计算各项系数，最终结果为：
$$
x^5 + x^4 - 3x^3 - x^2 + 3x - 1
$$
题目2：
判断下列多项式是否可约：
（1）$ x^4 + 1 $
（2）$ x^3 + 3x + 1 $
提示：
使用有理根定理、因式分解方法或判别式进行分析。
第二章：行列式与矩阵
2.1 行列式的计算
题目3：
计算下列三阶行列式：
$$
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{vmatrix}
$$
解：
利用对角线法则或按行展开计算，结果为 0。
题目4：
设矩阵 $ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $，其行列式为 $ ad - bc $。若 $ |A| = 0 $，则说明该矩阵是奇异矩阵，即不可逆。
第三章：线性方程组
3.1 高斯消元法
题目5：
解以下线性方程组：
$$
\begin{cases}
x + y + z = 6 \\
2x - y + z = 3 \\
x + 2y - z = 2
\end{cases}
$$
解：
通过高斯消元法逐步化简，得到解为 $ x = 1, y = 2, z = 3 $。
第四章：向量空间与线性变换
4.1 向量空间的基与维数
题目6：
设 $ V = \mathbb{R}^3 $，判断下列向量组是否为 $ V $ 的一个基：
$$
\vec{v}_1 = (1, 0, 0), \quad \vec{v}_2 = (0, 1, 0), \quad \vec{v}_3 = (0, 0, 1)
$$
解：
这三个向量构成标准基，因此是 $ \mathbb{R}^3 $ 的一组基。
第五章：特征值与特征向量
5.1 特征值的计算
题目7：
求矩阵 $ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $ 的特征值和特征向量。
解：
特征多项式为 $ \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 $，解得特征值为 $ \lambda_1 = 1 $，$ \lambda_2 = 3 $。
对应的特征向量分别为 $ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} $ 和 $ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $。
附录：常用公式与定理
- 多项式除法定理
- 矩阵的秩与行列式的关系
- 线性无关的判定方法
- 特征值与特征向量的性质
本习题集适用于《高等代数》课程的复习与练习，旨在帮助学生掌握基本概念、提升计算能力，并培养逻辑思维与抽象能力。建议结合教材与课堂笔记进行深入理解与巩固。
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