在高中数学的学习过程中，三角函数是一个非常重要的知识点，尤其在高一年级的课程中占据着重要地位。它不仅是后续学习三角恒等变换、解三角形、三角函数图像与性质等内容的基础，同时也是高考中的高频考点之一。为了帮助同学们更好地掌握和运用这些知识，本文对常见的三角函数公式进行了系统的归纳整理。
一、基本概念
三角函数是基于直角三角形或单位圆定义的一类函数，主要包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）三种基本函数，以及它们的倒数函数：余切（cot）、正割（sec）、余割（csc）。
在单位圆中，设角α的终边与单位圆交于点P(x, y)，则：
- sinα = y
- cosα = x
- tanα = y/x （x ≠ 0）
- cotα = x/y （y ≠ 0）
- secα = 1/cosα （cosα ≠ 0）
- cscα = 1/sinα （sinα ≠ 0）
二、常用公式归纳
1. 同角三角函数关系式
- 平方关系：
- sin²α + cos²α = 1
- 1 + tan²α = sec²α
- 1 + cot²α = csc²α
- 商数关系：
- tanα = sinα / cosα
- cotα = cosα / sinα
- 倒数关系：
- sinα = 1 / cscα
- cosα = 1 / secα
- tanα = 1 / cotα
2. 诱导公式（角度的转化）
对于任意角α，以下公式成立：
- sin(π/2 ± α) = ±cosα
- cos(π/2 ± α) = ∓sinα
- sin(π ± α) = ∓sinα
- cos(π ± α) = ∓cosα
- sin(2π ± α) = sinα
- cos(2π ± α) = cosα
注意：符号由角所在的象限决定。
3. 和差角公式
- sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ
- cos(α ± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ
- tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα tanβ)
4. 倍角公式
- sin2α = 2sinα cosα
- cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
- tan2α = 2tanα / (1 - tan²α)
5. 半角公式
- sin(α/2) = ±√[(1 - cosα)/2]
- cos(α/2) = ±√[(1 + cosα)/2]
- tan(α/2) = ±√[(1 - cosα)/(1 + cosα)] = sinα / (1 + cosα) = (1 - cosα) / sinα
6. 积化和差与和差化积公式
- sinα cosβ = [sin(α+β) + sin(α−β)] / 2
- cosα cosβ = [cos(α+β) + cos(α−β)] / 2
- sinα sinβ = [cos(α−β) − cos(α+β)] / 2
- cosα + cosβ = 2cos[(α+β)/2]cos[(α−β)/2]
- sinα + sinβ = 2sin[(α+β)/2]cos[(α−β)/2]
三、三角函数的图像与性质
| 函数 | 定义域 | 值域 | 周期性 | 奇偶性 |
|------|--------|------|--------|--------|
| sinx | R| [-1,1] | 2π | 奇函数 |
| cosx | R| [-1,1] | 2π | 偶函数 |
| tanx | x ≠ π/2 + kπ | R| π| 奇函数 |
四、常见题型与应用
1. 求值问题：如已知sinα = 3/5，求cosα的值。
2. 化简问题：如化简sin(π/2 - α) + cos(π - α)。
3. 证明问题：如证明sin²α + cos²α = 1。
4. 图像问题：根据函数表达式画出图像并分析其性质。
5. 实际应用：如利用三角函数解决物理中的振动、波动等问题。
五、学习建议
- 熟记基本公式，理解其推导过程。
- 多做练习题，熟悉公式的灵活运用。
- 注意符号变化，特别是在使用诱导公式时。
- 结合图像理解函数的变化规律，有助于提升解题能力。
通过系统地掌握和运用上述三角函数的相关公式，可以大大提升在高一数学学习中的效率与成绩。希望本资料能够为同学们提供清晰的知识框架和实用的学习工具。
