在数学学习中，工程问题是一个重要的知识点，它主要考察学生对工作效率、工作时间以及工作量之间关系的理解和运用能力。这类题目通常涉及多个对象共同完成一项任务，通过设定不同的工作效率或时间，来求解完成整个工程所需的时间或各部分的工作量。
以下是一些典型的工程问题练习题，帮助大家更好地理解和掌握这一类题型的解题思路与方法。
一、基础题型
1. 甲单独完成一项工程需要10天，乙单独完成需要15天。如果两人合作，需要多少天完成这项工程？
解析：
设这项工程为单位“1”。
甲每天完成的工作量是 $ \frac{1}{10} $，乙每天完成的是 $ \frac{1}{15} $。
两人合作每天完成的工作量为：
$$
\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}
$$
所以，合作完成需要 $ 1 \div \frac{1}{6} = 6 $ 天。
答案：6天
2. 修一条路，甲队单独做需8天，乙队单独做需12天。两队合作几天后，还剩 $ \frac{1}{4} $ 没有修？
解析：
甲每天完成 $ \frac{1}{8} $，乙每天完成 $ \frac{1}{12} $。
合作每天完成：
$$
\frac{1}{8} + \frac{1}{12} = \frac{3}{24} + \frac{2}{24} = \frac{5}{24}
$$
已经完成了 $ 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $。
所需时间为：
$$
\frac{3}{4} \div \frac{5}{24} = \frac{3}{4} \times \frac{24}{5} = \frac{72}{20} = 3.6 \text{天}
$$
答案：3.6天（或 $ \frac{18}{5} $ 天）
二、进阶题型
3. 一项工程，甲、乙、丙三人一起做，10天可以完成；若甲、乙两人一起做，15天可以完成；若乙、丙两人一起做，12天可以完成。问甲、乙、丙三人单独做各需多少天？
解析：
设甲、乙、丙单独完成需要 $ x $、$ y $、$ z $ 天。
根据题意，得到以下方程组：
$$
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{10} \quad (1) \\
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{15} \quad (2) \\
\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{12} \quad (3)
$$
由(1)-(2)得：
$$
\frac{1}{z} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3 - 2}{30} = \frac{1}{30} \Rightarrow z = 30
$$
代入(3)得：
$$
\frac{1}{y} + \frac{1}{30} = \frac{1}{12} \Rightarrow \frac{1}{y} = \frac{1}{12} - \frac{1}{30} = \frac{5 - 2}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20} \Rightarrow y = 20
$$
再代入(2)得：
$$
\frac{1}{x} + \frac{1}{20} = \frac{1}{15} \Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{15} - \frac{1}{20} = \frac{4 - 3}{60} = \frac{1}{60} \Rightarrow x = 60
$$
答案：甲单独做需60天，乙需20天，丙需30天。
三、综合应用题
4. 甲、乙、丙三人合作完成一项工程，甲先做了3天，之后乙接着做5天，最后丙完成剩下的部分。已知甲、乙、丙的工作效率之比为2:3:4，整个工程用了12天完成。问每个人分别做了多少天？
解析：
设甲、乙、丙的工作效率分别为2k、3k、4k。
甲做3天，乙做5天，丙做 $ 12 - 3 - 5 = 4 $ 天。
总工作量为：
$$
3 \times 2k + 5 \times 3k + 4 \times 4k = 6k + 15k + 16k = 37k
$$
由于工程总量为1，故有：
$$
37k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{37}
$$
但此题重点在于求每人工作的天数，即：甲3天，乙5天，丙4天。
答案：甲3天，乙5天，丙4天。
四、总结
工程问题虽然形式多样，但核心思想是“工作量=效率×时间”。熟练掌握这一基本公式，并结合实际问题进行分析，就能有效解决各类工程类应用题。
建议多做相关练习题，提高逻辑思维能力和计算准确性。希望以上练习题能对你的学习有所帮助！
