《分式运算》练习题及答案
在数学学习中，分式的运算是一项重要的技能。无论是初中还是高中的数学课程，分式的计算都占据了相当大的比重。为了帮助大家更好地掌握这一知识点，本文整理了一组精选的分式运算练习题，并附上详细的解答过程，希望对大家有所帮助。
练习题
1. 计算：$\frac{3x}{4} + \frac{5x}{6}$
2. 化简：$\frac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9}$
3. 求解：$\frac{2x - 1}{x + 3} = \frac{3}{x - 1}$
4. 计算：$\frac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6} \cdot \frac{x - 2}{x + 2}$
5. 解方程：$\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1} = \frac{2x}{x^2 - 1}$
答案与解析
1. 计算：$\frac{3x}{4} + \frac{5x}{6}$
首先找到分母的最小公倍数，即12。将两个分数通分为同分母：
$$
\frac{3x}{4} = \frac{9x}{12}, \quad \frac{5x}{6} = \frac{10x}{12}
$$
相加后得到：
$$
\frac{3x}{4} + \frac{5x}{6} = \frac{9x + 10x}{12} = \frac{19x}{12}
$$
2. 化简：$\frac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9}$
分子和分母都可以分解因式：
$$
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3), \quad x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2
$$
因此，原式化简为：
$$
\frac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)^2} = \frac{x + 3}{x - 3} \quad (x \neq 3)
$$
3. 求解：$\frac{2x - 1}{x + 3} = \frac{3}{x - 1}$
两边交叉相乘，得到：
$$
(2x - 1)(x - 1) = 3(x + 3)
$$
展开并整理：
$$
2x^2 - 2x - x + 1 = 3x + 9
$$
合并同类项：
$$
2x^2 - 3x + 1 = 3x + 9
$$
移项并整理为标准形式：
$$
2x^2 - 6x - 8 = 0
$$
提取公因式：
$$
2(x^2 - 3x - 4) = 0
$$
继续分解因式：
$$
x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)
$$
因此，解得：
$$
x = 4 \quad \text{或} \quad x = -1
$$
4. 计算：$\frac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6} \cdot \frac{x - 2}{x + 2}$
分别对分子和分母进行因式分解：
$$
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2), \quad x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
$$
原式化简为：
$$
\frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x - 3)} \cdot \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{x - 2}{x - 3} \quad (x \neq 2, -2)
$$
5. 解方程：$\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1} = \frac{2x}{x^2 - 1}$
注意到$x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$，因此原方程可写为：
$$
\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1} = \frac{2x}{(x + 1)(x - 1)}
$$
将左边通分为同分母：
$$
\frac{x - 1 + x + 1}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{2x}{(x + 1)(x - 1)}
$$
合并分子：
$$
\frac{2x}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{2x}{(x + 1)(x - 1)}
$$
此方程恒成立，因此解为：
$$
x \neq \pm 1
$$
以上就是本次练习题及其详细解答。通过这些题目，希望大家能够更加熟练地掌握分式的运算技巧。如果还有其他疑问，欢迎随时提问！
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希望这篇文章能帮到你！
