在数学中，一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0的标准形式，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。这类方程广泛应用于物理、工程学以及其他科学领域。为了更深入地理解其本质，我们需要掌握其求根公式的推导过程。

首先，我们从一般形式出发，通过配方法来完成平方。假设方程为ax² + bx + c = 0，两边同时除以a（确保a≠0），得到x² + (b/a)x + (c/a) = 0。

接下来，我们将x² + (b/a)x这部分进行配方。为了完成平方，需要添加一个特定的数值，这个数值等于(b/2a)²。因此，在方程两边加上(b/2a)²，得到：

x² + (b/a)x + (b/2a)² = -(c/a) + (b/2a)²

左边现在是一个完全平方的形式，即(x + b/2a)²。于是方程变为：

(x + b/2a)² = (b²/4a²) - (c/a)

进一步简化右边，找到共同分母后可得：

(x + b/2a)² = (b² - 4ac)/(4a²)

然后对两边开平方，注意要考虑到正负两种情况：

x + b/2a = ±√[(b² - 4ac)/(4a²)]

最后，将b/2a移到等式右侧，得到最终的求根公式：

x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)

这就是一元二次方程的求根公式。通过这一推导过程，我们可以看到，无论系数如何变化，只要满足a ≠ 0，都可以利用此公式找到对应的解。这不仅加深了我们对二次函数的理解，也为解决实际问题提供了强大的工具。