在数学领域中，正交矩阵是一种特殊的方阵，其定义是满足条件 \( Q^TQ = QQ^T = I \)，其中 \( Q^T \) 表示矩阵 \( Q \) 的转置，而 \( I \) 是单位矩阵。这类矩阵在几何变换、物理以及工程应用中具有重要意义。本文将探讨与正交矩阵相关的两个重要性质：其特征值的特性以及行列式的特性。

首先，我们来讨论正交矩阵的特征值。一个正交矩阵的特征值要么是实数 1 或 -1，要么是复数，并且这些复数必须位于单位圆上（即模为 1）。这意味着如果 \(\lambda\) 是正交矩阵 \( Q \) 的特征值，则有 \( |\lambda| = 1 \)。这一性质来源于正交矩阵保持向量长度不变的特性，从而保证了特征值不会改变向量的模长。

接下来，我们转向正交矩阵行列式的性质。对于任意的正交矩阵 \( Q \)，其行列式 \( |Q| \) 的绝对值等于 1，即 \( | |Q| | = 1 \)。这表明，正交矩阵的行列式只能取值为 1 或 -1。进一步地，当 \( |Q| = 1 \) 时，\( Q \) 被称为特殊正交矩阵；而当 \( |Q| = -1 \) 时，\( Q \) 则被称为不定正交矩阵。这种行列式的特性反映了正交矩阵在体积变换上的无缩放性，即它不会改变空间的体积。

这两个定理不仅揭示了正交矩阵的本质属性，也为深入研究线性代数中的各种问题提供了理论基础。无论是从理论上还是应用上，理解正交矩阵的这些特性都是非常重要的。